使用 R 软件分析光合数据之三

# 使用 R 软件分析光合数据之三
## 光响应曲线的拟合
### 祝介东
### 北京力高泰科技有限公司 技术部
### 2020-04-02 修改

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# 1. 光响应曲线的模型

# 2. 模型的拟合

# 3. 补偿点和饱和点的计算

# 4. 步骤详解及演示
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# .large.bold[光响应曲线的模型]

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# 光响应曲线模型的类型

.large.bold[光响应曲线的模型有很多，常见的有四大类：

- 直角双曲线模型
- 非直角双曲线模型
- 指数模型
- 直角双曲线修正模型 
]

其简单介绍可以参考：[光响应曲线拟合-github](https://zhujiedong.github.io/photoanalysis/lrc-fit.html) 或 [光响应曲线拟合-gitee](http://zhu_jie_dong.gitee.io/photoanalysis/lrc-fit.html)
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# 模型的拟合

不管哪个模型的拟合，都属于非线性拟合，可以使用下面几个函数来拟合：

```r
stats::nls()

minpack.lm::nlsLM()

nls2::nls2()
```
 
 
其中 `nls2` 基于 `nls`，但可以设定一个初值的范围，`minpack.lm` 基于 `MINPACK` 库，`nlsLM` 最大的特点就是对初值的敏感性较低，比较容易得到测量结果（同样的初值出现不收敛的概率相对低）。

关于非线性拟合初值确定的问题可参考：[非线性拟合初值的确定-github](https://zhujiedong.github.io/photoanalysis/start-con.html) 或 [非线性拟合初值的确定-gitee](http://zhu_jie_dong.gitee.io/photoanalysis/start-con.html)
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# 光补偿点的计算

除了指数模型和直角双曲线修正模型外，其他模型因为模型参数本身不使用补偿点作为参数，无法通过拟合得到光补偿点，我们可以通过下面的方式计算：

当达到光补偿点时，净光合速率为零，我们可以通过计算出模型参数后，使得净光合速率为零，然后将模型作为光强未知的一元方程求解，在比较低的范围内（例如 1 ~ 50），得到方程的根即为光的补偿点。

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# 光饱和点的计算

理论上可以使用下面的方式来计算：弱光条件下
( `$\leq 200 \mu mol\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}$` ) 的数据通过线性拟合得到表观量子效率（apparent
quantum efficiency，AQE），利用非线性最小二乘法估算 `$P_{nmax}$` ，最后计算求解 `$I_{sat}$`，

`$$P_{nmax}= AQE \times I_{sat} - R_{d}$$`

但此方法测得的光饱和点远小于实测值。
]

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="./img/aqe.png" alt="引用自叶子飘等( 2010)" width="623" />
引用自叶子飘等( 2010)
</div>

]

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# 光饱和点的计算

除了直角双曲线修正模型外，其他三种模型均不存在极大值，无光饱和点，我们可以根据计算补偿点相似的方法，将净光合速率达到最大光合速率一定比例时的值，作为刚刚达到光饱和点时的光合速率，此时也在一定范围内（例如400 ~ 2000）计算一元方程的根，将其作为光饱和点。可参考：

Huang, HY, XY Dou, PY Sun, B Deng, GJ Wu, and CL Peng. 2009. “Comparison of Photosynthetic Characteristics in Two Ecotypes of Jatropha Curcas in Summer.” Acta Ecologica Sinica, no. 29: 2861–2867

Zhang, XS, SH Shen, and J Song. 2009. “The Vertical Distribution of Cotton Leaf Nitrogen Content and Photosynthetic Characteristics in the North China Plain.” Acta Ecologica Sinica, no. 29: 1893–1898.

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# 代码详解

## 以直角双曲线为例的介绍

直角双曲线的形式为：

`$$P_{n}  = \frac{\alpha I\ P_{nmax}}{\alpha I + P_{nmax}}- R_{d}$$`

* 其中 `$P_{n}$` 为净光合速率；
* I 为光强；
* `$\alpha$` 为光响应曲线的初始斜率，也称之为初始量子效率；
* `$P_{nmax}$` 为最大净光合速率；
* `$R_{d}$`：为暗呼吸速率。

`$P_{n}$` 和 I 是我们直接测量的数据，其他的为模型计算所需要的参数。
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# 模型的公式化

我们要对直角双曲线模型进行拟合，必须将其写为 R 的数学表达形式，才能用于 formula，例如非直角双曲线写为 formula 为：

```r
lrc_A ~ (alpha * lrc_Q * Am) * (1/(alpha * lrc_Q + Am)) - Rd

```

其中 lrc_Q 为光强，lrc_A 为净光合速率

具体可参考帮助文档：

```r
?Arithmetic
?formula
```

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# 数据的读取

数据的读取可以根据存储的形式，选择合适的方式，这是本系列第二讲的内容，此处不赘述。

# 非线性拟合

最开始可以选择 `minpack.lm` 中的 `nlsLM` 函数进行拟合。各个初值的设定原则为：

- Am：最大光合速率可以使用测量的光合速率最大值与最小值之差。
- Rd：可以使用最小的光合速率的绝对值。
- `$\alpha$`: 初始斜率可以使用 0.05 等小数点后第二位的数字来作为尝试。
- 如果有一个大概的范围，可以使用 `nls2` 来构造一个初值的范围网格

可参考：[初值的确定-github](https://zhujiedong.github.io/photoanalysis/start-con.html) 或 [初值的确定-gitee](http://zhu_jie_dong.gitee.io/photoanalysis/start-con.html)
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# 拟合结果的查看和调用

- 使用 `summary` 查看拟合结果

- 返回的结果是一个列表，计算的参数存储于 coefficient 列表内

有用的帮助文档：

```r
?summary
?coef
```

参数结果可以直接调用以方便计算。
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# 补偿点和饱和点的计算

分为两步

- 调用拟合的参数，构造一元方程

- 使用 `uniroot` 求得一定范围内的解

参考：

```r
?uniroot
```

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# .large.bold[详细代码运行演示]

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